數學與經濟

七十年代初期在西雅圖華盛頓大學遇到一位研究生，考試成績平平，但天分奇高。拿得博士後，他認識了戴維德（A. Director）、艾智仁（A. A. Alchian）與史德拉（G. J. Stigler）。這三位大師像我一樣，十分欣賞該年青人的良材美質。史德拉要請他到芝加哥大學去，作博士後的訓練，尤其是多學點數學。

該青年問史德拉：「數學對經濟真的是那樣重要嗎？」史老回應道：「只有瘋子才會提出這問題。想想吧，當今之世，不用數學而還能在經濟學站得住腳的只有高斯、艾智仁與張五常三個人。你認為自己可以擠進去嗎？」

自一九八二年回港任教職到這幾年在國內的多次講話中，學生問得最多就是這個問題：數學對經濟是重要嗎？每次被問及，我總是想起史老當年的話，但不能借用他的幽默作回應。數學對經濟重要，但不是史老說得那樣重要。經濟學可以完全不用數而達頂級的成就。撇開自己不談，二十世紀的經濟學大師，不用數的遠不止高斯與艾智仁（其實艾老間中用，很懂得用，但不多用）。

數學對經濟的重要性不容易解說。因人而異，也因情況而異，沒有肯定性的答案。讓我分點說說吧。

（一）今天的經濟學與四十年前的很不一樣。今天，懂經濟學與懂經濟學課程是兩回事。是的，今天好些名大學的研究院，沒有相當數學基礎的學生根本不能上課，或上課而聽不懂，老師指定的讀物讀不通。另一方面，一些年青學者對我說，文章若不是滿紙方程式的沒有學報收容。這後者我有保留，因為與我同輩的並不認為文章有發表的困難，而數學的成分不需要增加。

無可置疑，後一輩的經濟學者發表的文章，內裡的數學成分比老一輩的多了很多。然而，與此同時經濟學的知識並沒有明顯的長進。這兩年美國有這樣的說法，據說是芝加哥大學的一位元老說起的。那就是五十至七十年代時，有新意、有內容的經濟思想百花齊放，能人輩出，但自八十年代起，新意衰歇，內容空洞，以致後一輩的轉向多用數學，吹毛求疵地證實老一輩的觀點或批評老一輩的錯失，又或把老一輩的註腳發揮一下。說得不客氣一點，是年青一輩的思想內容不足，要以數學方程式來加以掩飾。

八二年起我自己身在香港，沒有親歷其境地體會到這個數學代替內容的發展，故不能多說。但傳統上，科學發展起伏不一是常有的現象。以經濟學而言，十九世紀末期興起的「新古典」邊際分析熱鬧了半個世紀，其後就再沒有什麼值得大書特書的。要不是佛利民（M. Friedman）等人在五十年代開始大搞科學方法與貨幣理論，而六十年代又有產權與交易費用的參進，經濟學可能早就變得怪誕不經。

（二）六十年代自己還玩一點數學時，一些行內朋友說沒有方程式他們不能想經濟學的問題。我和另一些朋友正相反，想時不用數學，想通了才考慮用不用數學印證。這是奇怪的分離，很難說哪種想法比較可取。二十多年前在一次會議上，我作主講，阿羅（K. Arrow）是評論者。結束後一起喝咖啡，他把一張滿是方程式的紙交給我，說是我講話的內容！阿羅是二十世紀數一數二的數學經濟天才，我說得多快他的方程式就寫得多快。要不是見到他表演神功，我不容易相信有內容的學問是可用方程式思想的。

想想吧，數學的本身沒有內容，以方程式想經濟，內容是要由想者加進去的。阿羅的驚人本領，是把內容加進方程式來想而速度不比我慢！令人沮喪。當時我想，經濟要有內容，如果沒有阿羅的本領，就不應搞數學經濟了。

有趣的是，整個二十世紀，我想不到有哪一篇重要的經濟學文章是滿紙方程式的。就是阿羅與森穆遜（P. A. Samuelson）獲諾貝爾獎的文獻，方程式也不多。

（三）無論數學用得怎樣精彩、湛深，其內容如果不能清楚地以淺白的文字語言說出來的，都不是可取的經濟學。這裡還可以補充：凡是用上模糊不清的術語的分析，皆不可取。很不幸，這類經濟分析今天觸目皆是。

我自己的習慣，是思想時不用數（三十歲前後少用，今天不用），但用很多例子。推出了結論，再回頭反覆思量，要花一段長時日。自己感到滿意後才考慮用不用數加以印證。通常的經驗，是如果能用文字寫出來而還感滿意的話，以數學證實為對差不多是必然的。這是說，想得通透以數印證是多此一舉。但在想得不夠通透的情況下，數學的用場不小。數學證不出來的往往有問題；數學證明是錯的，錯。不幸的是，數學證明是對的不一定對。

（四）一般來說，數學於經濟的用場有二。其一是上述的：想不通可以試用數學協助推理。這點在細微而曲折的問題上尤其重要。一九七三年我為了想不出一個瑣碎但可能重要的蜜蜂傳播花粉的經濟規律，轉用數學推理，推不出，請了一位數學專家協助，也推不出。（兩年前整理自己的平生論著，竟然找到當年沒有發表過的失敗文稿，明年結集成書時會放進去，希望將來有人能推出應有的規律。）

其二是有些經濟分析非常複雜，所謂有理說不清，而數學可以大幅度地簡化。是的，數學用得好很有藝術性，漂亮得很。我當年自覺沒有這種天分而選走較有把握的文字路線。這選擇主要不是用不用數或懂不懂數的決定，而是沒有信心能一貫地以數學把分析簡化。想不到，今天的發展是以數學把問題複雜化。

關於數學與經濟，結論只有兩點。第一點是經濟推理可以完全不用數，雖然邊際分析的理念要掌握。這方面數學的協助用途我說過了。因人而異，有些人的推理能力比較弱，數的幫助大一點；有些人的數學天分比較高，以數學簡化問題令人心折。第二點是不管數學用得如何湛深，其內容一定要通過以淺白文字表達出來這一關。算得上是數學家的經濟學大師馬歇爾（A. Marshall），過了這一關就把數學分析放進註腳內。三十年前我的文字經濟分析也做過一重數學「手續」的，但方程式很笨拙，連註腳也不好意思放進去。